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陇东学院专升本考试专业课《数学与应用数学》考试大纲

2011年09月21日 来源:甘肃专升本网 作者:甘肃专升本网编辑 编辑:张老师 投稿

I《高等代数》

一.考试目的专升本《高等代数》课程考试的目的在于测试考生对高等代数的基本概念、基本方法和基本原理的掌握程度,考查学生是否具有一定的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力及初步应用所学知识解决实际问题的能力。

二.参考教材高等代数(第四版),北京大学代数与几何教研室编,高等教育出版社,1998年。

三.试卷结构判断题10%,填空题20%,计算题及证明题70%。

四.考试形式与考试时间
考试形式:闭卷;笔试。
考试时间:120分钟。
试卷满分:100分。

五.考核知识点与要求

第1章多项式(27学时)
本章考核内容:
1.1 数域
1.2一元多项式
1.3整除的概念
1.4最大公因式
1.5因式分解定理
1.6重因式
1.7多项式函数
1.8复系数与实系数多项式的因式分解
1.9有理系数多项式

本章考核要求:
1.1识记:数域定义,一元多项式定义,整除定义,最大公因式定义,互素定义,不可约多项式定义,k重因式定义,本原多项式定义。
1.2理解:数域P上一元多项式的定义、多项式相乘、次数、一元多项式环等概念,整除的定义,两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质,不可约多项式的定义及性质,k重因式的定义,多项式与多项式函数的关系,代数基本定理,有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。1.3简单应用:判断一个代数系统是否是数域,多项式的运算及运算律,用辗转相除法求两个多项式的最大公因式,不可约多项式的定义及性质,标准分解式,k重因式,多项式函数的概念、余数定理、多项式的根及性质,对称多项式基本定理。
1.4综合应用:带余除法及整除的性质,因式分解及唯一性定理,复(实)系数多项式分解定理及标准分解式,本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。

第2章行列式(15学时)
本章考核内容:
2.1引言
2.2排列
2.3n级行列式
2.4n级行列式的性质
2.5行列式得计算
2.6行列是按一行(列)展开
2.7克兰姆法则

本章考核要求:
2.1识记:排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义,n级行列式的定义,矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念,元素的余子式、代数余子式等概念。
2.2理解:排列的奇偶性与对换的关系,n级行列式的定义,矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念,元素的余子式、代数余子式等概念,行列式的一个k级子式的余子式等概念,行列式的乘法规则。
2.3简单应用:用定义计算一些特殊行列式,利用行列式性质计算一些简单行列式,行列式按一行(列)展开的公式。掌握“化三角形法”、“递推降阶法”、“数学归纳法”等计算行列式的技巧。
2.4综合应用:克莱姆(Cramer)法则。

第3章线性方程组(13学时)
本章考核内容:

3.1消元法
3.2n维向量组

3.3线性相关性
3.4矩阵的秩
3.5线性方程组有解判别定理
3.6线性方程组解的结构

本章考核要求:
3.1识记:n维向量及两个n维向量相等的定义。
3.2理解:一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵,线性方程组的初等变换等概念及性质,阶梯形方程组的特征及作用,线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质,两个向量组等价的定义及等价性质定理,向量组的极大无关组、秩的定义,矩阵的行秩、列秩、秩的定义。
3.3简单应用:线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质,两个向量组等价的定义及等价性质定理,求向量组的一个极大无关组,求矩阵的秩,求齐次线性方程组的基础解系。
3.4综合应用:求一般线性方程组的全部解。

第4章矩阵(15学时)
本章考核内容:
4.1矩阵的概念
4.2矩阵的运算
4.3矩阵乘积的行列式与秩
4.4矩阵的逆
4.5矩阵得分块
4.6初等矩阵
4.7分块矩阵的初等变换及应用举例

本章考核要求:
4.1识记:矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律,可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念。
4.2理解:矩阵乘积的行列式定理,分块矩阵的意义,分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系。
4.3简单应用:矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系,n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵,分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。
4.4综合应用:一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件,会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵,求分块矩阵的逆。

第5章二次型(12学时)
本章考核内容:
5.1二次型的矩阵表示
5.2标准形
5.3唯一性
5.4正定二次型

本章考核要求:
5.1识记:二次型的矩阵表示,正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念。
5.2理解:二次形和非退化线性替换的概念,二次型与对称矩阵的一一对应关系,合同概念及性质,复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性。
5.3简单应用:化二次型为标准型的方法(配方法、初等变换法)。
5.4综合应用:正定二次型及半正定二次型的等价条件。

第6章向量空间(16学时)
本章考核内容:
6.1集合 映射
6.2线性空间的定义与简单性质
6.3维数,基与坐标
6.4基变换与坐标变换
6.5线性子空间
6.6子空间的交与和
6.7子空间的直和
6.8线性空间的同构

本章考核要求:
6.1识记:映射、单射、满射(映上的映射)、一一映射、逆映射等概念,线性空间的定义,子空间的定义。
6.2理解:线性空间的定义及性质,线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念,基变换与坐标变换的关系,子空间的交与和的定义及性质,子空间的直和的概念,线性空间同构的定义。
6.3简单应用:判断一个代数系统是否是线性空间,基变换与坐标变换的关系,向量组生成子空间的定义及等价条件,维数公式。
6.4综合应用:子空间为直和的充要条件,两个有限维空间同构的充要条件。

第7章线性变换(23学时)
本章考核内容:
7.1线性变换的定义
7.2线性变换的运算
7.3线性变换的矩阵
7.4特征值与特征向量
7.5对角矩阵
7.6线性变换的值域与核
7.7不变子空间

本章考核要求:
7.1识记:线性变换的定义及性质,矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念,线性变换的值域、核、秩、零度等概念,不变子空间的定义,最小多项式的概念。
7.2理解:线性变换与矩阵的联系,矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质,矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质,不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系,掌握标准型的定义,最小多项式的概念。
7.3简单应用:求一个矩阵的特征值和特征向量,相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理,n维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件,线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系,判定一个子空间是否是A-子空间。
7.4综合应用:不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系,一个矩阵相似于一个对角阵的充要条件及相关计算。

第8章欧氏空间(18学时)
本章考核内容:
9.1定义与基本概念
9.2标准正交基
9.3同构
9.4正交变换
9.5子空间
9.6对称矩阵的标准形

本章考核要求:
2.1识记:欧氏空间的定义,两个欧氏空间同构的定义,向量的长度,两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念,正交变换的概念。
2.2理解:欧氏空间的性质,向量的长度,两个向量的夹角、正交及度量矩阵的基本性质,正交向量组、标准正交基的概念,正交变换的概念及几个等价关系,正交与直和的关系。
2.3简单应用:施密特正交化过程,把一组线性无关的向量化为单位正交的向量,两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系,正交变换与向量的长度,标准正交基,正交矩阵间的关系,欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。
2.4综合应用:任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵,求正交阵的方法,用正交变换化实二次型为标准型。

五、教材及参考书
1、教材:《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室小组编,高等教育出版社,88年3月。
2、教学参考书:《高等代数》,张禾瑞,郝炳新编,高等教育出版社,84年3月。
3、《高等代数》,丘维声编,高等教育出版社,96年12月。

以下各章考核知识点

第一章一元多项式
㈠ 考核知识点:带余除法定理,整除,最大公因式,互素,不可约多项式,重因式,根,多项式函数,本原多项式,因式分解定理以及复(实)系数多项式因式分解定理,有理系数多项式有理根的求法,艾森施坦因判别法。
㈡ 要求:
1、理解带余除法定理和因式分解定理。
2、掌握多项式整除、最大公因式、互素、不可约多项式、重因式、根、多项式函数、本原多项式的定义与基本性质。
3、熟练掌握带余除法、辗转相除法和综合除法、有理系数多项式有理根的求法和艾森施坦因判别法。
4、了解标准分解式和数域上多项式函数相等与多项式相等的一致性。

第二章行列式
㈠ 考核知识点:排列的奇偶性,n阶行列式的定义与性质,行列式的按行(列)展开定理,克莱姆法则。
㈡ 要求:
1、理解排列的奇偶性与n阶行列式的定义,掌握n阶行列式的性质和行列式的按行(列)展开定理。
2、熟练掌握用化三角形法和降阶法计算n阶行列式,掌握加边法,了解递推法.
3、理解克莱姆法则。

第三章矩阵
㈠ 考核知识点:矩阵的概念、相等、运算与转置,矩阵的秩,n阶矩阵的行列式,可逆矩阵,伴随矩阵,矩阵的初等变换与初等矩阵,分块矩阵。
㈡ 要求:
1、熟练掌握矩阵加法、乘法和数量乘法的运算规则和n阶矩阵的行列式的有关性质。
2、理解矩阵秩的定义,会用矩阵的初等变换求矩阵的秩。
3、理解可逆矩阵的概念,掌握可逆矩阵的性质,会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵,熟练掌握用矩阵的初等变换求可逆矩阵的逆矩阵。
4、了解初等矩阵的概念以及初等矩阵与矩阵初等变换的关系,了解分块矩阵的运算法则。

第四章向量空间
㈠ 考核知识点:n维向量的定义、相等与运算,n维向量组的线性相关性与秩,n维向量空间的基、维数与子空间,n维向量在基下的坐标,向量空间。
㈡ 要求:
1、理解n维向量的概念,熟练掌握n维向量的加法和数乘运算。
2、掌握n维向量组的线性相关、线性无关、秩等概念及有关性质,会求n维向量组的秩。
3、理解n维向量空间的基、维数、子空间等概念,熟练掌握n维向量在基下的坐标的求法。
4、了解向量空间的定义与基本性质。

第五章线性方程组
㈠ 考核知识点:消元法,线性方程组有解性判别定理,齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组解的结构。
㈡ 要求:
1、理解线性方程组有解的判别定理和齐次线性方程组有非零解的条件。
2、掌握线性方程组的特解、导出组的基础解系、通解的定义及其关系。
3、熟练掌握用矩阵初等行变换求线性方程组的通解的方法。

第六章相似矩阵与矩阵的对角化
㈠ 考核知识点:相似矩阵,矩阵的特征值与特征向量,n阶矩阵可以对角化的条件与对角化方法,向量的内积,向量组的正交化方法,正交矩阵,实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,实对称矩阵的对角化。
㈡ 要求:
1、熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。
2、理解相似矩阵的定义和n阶矩阵可以对角化的条件,熟练掌握n阶矩阵的对角化方法。
3、理解向量的内积和正交矩阵的定义,掌握向量组的正交化方法。
4、理解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,掌握实对称矩阵的对角化方法。

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