《高等数学》考试大纲

　　(适用于所有专业考生)

　　总体要求：

　　考试根据本大纲要求，了解或理解高等数学中函数、极限和连续、一元函数微分学和积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等中的基本概念与基本理论;学会或掌握上述各部分的基本内容与方法，并应注意各部分知识结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算;能综合运用所学知识分析和解决简单的实际问题。

　　本大纲对内容由低到高，对概念和理论分为“了解”和 “理解”两个层次;对方法和运算分“会”和“掌握”两个层次。

　　内容及要求：

　　(一)函数、极限、连续：1.理解函数的概念;理解复合函数的概念，了解反函数的概念。会建立简单实际问题中的函数关系式。2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性;掌握基本初等函数的性质和图象。3.理解极限的概念，了解 等语言。4.掌握极限的性质与四则运算法则。5.理解两个极限存在的准则(夹逼准则和单调有界准则)，掌握用两个重要极限求极限方法。6.了解无穷小、无穷大概念及其比较问题。会用等价无穷小求极限。7.会求数列或函数的极限。8.理解函数在一点连续的概念。了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。8.理解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(有界性、最值性、介值性、零点定理等)。

　　(二)一元函数微分学：1.理解导数的概念，几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。2.掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，会求反函数、隐函数、参数方程、幂指函数的导数。3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。4.理解微分的概念。5.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。6.理解罗尔定理和拉格朗日定理。了解柯西定理和泰勒定理，掌握利用洛必达法则求极限。7.理解函数的极值与最值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，会求最值。8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，了解描绘函数图形的一般方法。9.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。

　　(三)一元函数积分学：1.理解不定积分和定积分的概念和性质，了解原函数、不定积分、定积分的关系。2.掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。会求简单的有理函数和简单无理函数的积分。3.理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿——莱布尼兹公式。4.了解广义积分的概念，会计算简单的广义积分。6.会用定积分表达一些几何量和物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法，能用定积分解决一些简单的几何问题及简单的物理力学问题。

　　(四)微分方程初步：1.了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。2.掌握可分离变量的方程的解法，了解齐次方程和伯努利方程及其解法。3.会解一阶线性非齐次微分方程。4.理解二阶线性微分方程解的结构。5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。6.会求自由项形如 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。8.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。

　　(五)矢量代数和空间解析几何：1.理解空间直角坐标系，理解矢量的概念及其表示。掌握单位矢量、方向余弦、矢量的坐标表示及矢量运算的方法。2.了解矢量的运算(数量积、矢量积、混合积)，掌握矢量垂直、平行的判定问题。3.掌握平面的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。4.了解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。5.了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

　　(六)多元函数微分学：1.理解多元函数的概念。了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。2.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，理解一阶全微分形式不变性。3.掌握复合函数的一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。4.会求由一个方程确定的隐函数的偏导数及两个方程组成的方程组所确定的隐函数的偏导数。5.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。6.了解方向导数及梯度的概念，会求函数的方向导数及梯度。7.理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些简单的最大值和最小值的应用问题。

　　(七)多元函数积分学：1.了解二重积分的概念、几何意义，理解二重积分的性质。2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。3.会用二重积分解决几何与力学中的简单问题(如面积、体积、质量、重心、转动惯量等)。

　　(八)无穷级数：1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。2.了解正项级数的概念，收敛的充要条件，掌握比较审敛法、比值审敛法及根值审敛法。3.掌握几何级数和P—级数的收敛性。了解交错级数的莱布尼兹判别法，了解交错级数的截断误差。4.掌握无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛与条件收敛的关系。5.了解函数项级数的收敛域与和函数的概念。6.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。掌握幂级数求和的基本理论，并会求和函数。7.了解函数展开为泰勒级数的方法。会利用 等的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。8.了解幂级数在近似计算上的简单应用。

　　附参考书目录：

　　1.《高等数学》.同济大学数学教研室.高等教育出版社.第四版.1996.

　　2.《高等数学》.严克明.甘肃文化出版社.第一版.1996.